Sia V il sottospazio generatore dai vettori. Sia U il sottospazio definito dall'equazione
Scrivo una matrice 4x4 che ha come colonne i 4 vettori che generano V e ne calcolo il determinante, che esce zero. Guardo la sottomatrice 3x3 formata dalle prime 3 colonne e 3 righe e ne calcolo il determinante, che esce diverso da zero. Deduco che v1, v2, v3 sono indipendenti e che (v1,v2,v3) è una base di V. Quindi V ha equazione cartesiana detX=0, dove X è la matrice 4x4 formata mettendo in colonna v1, v2, v3 ed il vettore (x,y,z,t) trasposto come ultima colonna. Facendo i calcoli e semplificando (mi fido del risultato proposto) si ottiene "x-z-t=0"
U è descritto da una sola equazione cartesiana dunque ha codimensione 1 da cui dimU=4-codim(U)=3. Per lo stesso motivo anche V ha dimensione 3. L'equazione cartesiana di V trovata al punto (a) non è proporzionale all'equazione cartesiana di U assegnata, e dunque l'intersezione tra U e V ha codimensione 2 e quindi dimensione 4-2=2. Con la formula di Grassman dim(U+V)+ dim(U,V)=dimU+dimV trovo la dimensione di U+V, che è 3+3-2=4
l'equazione cartesiana di V può riscriversi come (x,y,z,t)*(1,0,-1,-1)=0, quindi (1,0,-1,-1) è ortogonale a V ed una base di Vortogonale è proprio (1,0,-1,-1), visto che Vortogonale ha dimensione 1
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