siano f, g due funzioni continue nell'intervallo [a, b] e derivanti nell'intervallo

siano f, g due funzioni continue nell'intervallo [a, b] e derivanti nell'intervallo

verifica che la funzione H = f(x) [ f(b) - f(a) ] - f(g) [ F(b) - F(a) ]

Le funzioni non sono due. È una: H(x).
È irrilevante che essa sia definita tramite f, g o altre funzioni. Applica il Teorema di Rolle ad H(x), quindi:
1. Verificane continuità su [a,b]
2. Verificane derivabilità su (a,b)
3. Verifica che H(a) = H(b)
Poi calcola H'(in x = c, ignoto) e ponilo =0.
Così trovi c
teorema di cauchy in cui sotto le stesse ipotesi del teorema di rolle per f e g hai l'esistenza di c tale che f’(c)/g’(c) = (f(b)-f(a) )/ (g(b)-g(a) )
È sufficiente affermare che una combinazione lineare di funzioni continue in un intervallo compatto, lo è anch'essa e che, in quanto combinazione lineare di funzioni derivabili nell'aperto, è anch'essa derivabile nell'aperto. Resta da verificare solo che h(a)=h(b).
La funzione è sempre una sola, è solo H, anche se, sì, è definita in termini delle due funzioni f e g. Attenzione ai pezzi in cui compaiono f(x) e g(x) (cioè funzioni) e i pezzi in cui compaiono i termini f(a), f(b), g(a), g(b) (che sono costanti, fissate). Quindi bisogna vedere se le due ipotesi del teorema di Rolle sono verificate:
1) Basandosi sulle proprietà di f e g, si può concludere che H è continua su [a,b] e derivabile su (a,b)?
2) Quanto valgono H(a) e H(b), ed è vero che H(a) = H(b)?
Se queste due ipotesi sono verificate, allora vale il teorema di Rolle, ed esiste un punto c ∈ (a,b) tale che H'(c) = 0.
Perfetto, il calcolo è corretto, e giustamente H(a) = H(b) = 0 (il fatto che siano entrambi uguali a zero non è importante, ma solo il fatto che siano uguali).
A rigore, come detto da altri, va anche specificato che H è in effetti continua su [a,b], perché combinazione lineare di due funzioni continue su [a,b], e per lo stesso motivo è derivabile su (a,b).
A questo punto, credo che l'esercizio voglia far calcolare H'(x) a partire dalla sua definizione, in funzione naturalmente di f'(x) e g'(x).
H(x) = f(x)·[g(b)-g(a)] - g(x)·[f(b)-f(a)] - f(a)·g(b) + f(b)·g(a).

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pasquale.clarizio

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