studiare se f(x) = logaritmo naturale di |x| / (x+2)^2 è integrabile in [-1, 1]
Non è corretta la sostituzione di x+2 con x. In realtà nei pressi della singolarità la funzione va come ln|x|/4 e l’integrale converge in senso improprio, puoi anche trovare la primitiva integrando per part
La primitiva di 1/(x+2)^2 è-1/(x+2) quindi ottieni -ln|x|/(x+2)+int 1/(x(x+2)) questo ultimo integrando lo separi in due frazioni elementari: [1/x-1/(x+2)]/2
E trovi ln|x|/2- ln|x|/(x+2)-ln|x+2|/2+c e finalmente semplificando la somma dei primi due termini trovi:
xln|x|/[2(x+2)]-ln|x+2|/2+c
E siccome questa funzione ha limite finito per x che tende a zero l’integrale è definito in senso improprio fra -1 ed 1 e vale: [ln(1/3)]/2
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