il termine generale della serie è (-5)ⁿ / n⁵. Questa successione, non tende a 0 per n → +∞. È una successione illimitata sia superiormente che inferiormente, anche se non ammette limite perché oscilla tra valori arbitrariamente grandi in modulo ma di segno alternato. In modulo, invece, 5ⁿ / n⁵ diverge a +∞ per la gerarchia degli infiniti.

Il fatto che il termine generale della serie non tenda a 0 è sufficiente per garantire che la serie non converge.

Se avessi voluto utilizzare il criterio di Leibniz, devi portare il termine generale della serie nella forma (-1)ⁿ·a(n), dove a(n) è una successione positiva, monotona decrescente, e tendente a 0. In questo caso, si ha a(n) = 5ⁿ / n⁵, che non soddisfa le ipotesi del criterio di Leibniz perché non è monotona decrescente e perché diverge a +∞ come discusso prima.

Penso che tutta la confusione sia solo generata dal fatto che c'era il termine (-5)ⁿ mentre per applicare il criterio di Leibniz deve esserci (-1)ⁿ. Come dicevo, una cosa da poco che però cambia completamente l'esercizio.