Tau(n) è il numero di divisori interi positivi del numero n. Preso un numero intero positivo n>2022, dimostrare che vale sempre la disuguaglianza Tau(n)+Tau(n+1)+Tau(n+2)>9

Tau(n) è il numero di divisori interi positivi del numero n. Preso un numero intero positivo n>2022, dimostrare che vale sempre la disuguaglianza Tau(n)+Tau(n+1)+Tau(n+2)>9

Se n = p₁ᵃ * p₂ᵇ *...* pₙᵏ con pᵢ sono i fattori primi
Tau[n] = Π(aᵢ+1) ovvero la produttoria dove gli aᵢ rappresentano la molteplicità dei fattori primi
I casi "peggiori" sono 2:
1) quello con n e n+2 primi gemelli, e quindi si avrebbe Tau(n)+Tau(n+2) = 4
È notorio che il numero tra due primi gemelli è divisibile per 6
ovvero ha 2 e 3 tra i fattori primi, quindi Tau(n+1) >= 6, così è provata la disuguaglianza cercata
2) quello in cui tra n, (n+1) e (n+2) ci siano un quadrato di un primo, un numero primo e un cubo di un primo (se così fosse la disuguaglianza sarebbe un'uguaglianza). Tale caso non si presenta mai perché l'equazione y^2 = x^3 + n con n = {-2, -1, 1, 2} ha rispettivamente {2, 1, 5, 2} soluzioni intere, tutte con valori < |10| quindi non rientranti nelle ipotesi del quesito.
sarà un fatto noto ma è banale. Se n e n+2 sono primi gemelli sicuramente non sono divisibili per 3 o per 2, con n abbastanza grande. Tra n, n+1, n+2 c'è sicuramente un multiplo di 3 e sicuramente un multiplo di 2 da cui n+1 multiplo di 6.

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pasquale.clarizio

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