teorema di erone: in un piano cartesiano, la retta y=x rappresenta “la costa”, al di sotto di questa retta c’è il mare
Abbiamo le coordinate di 2 città:
-)città A= (1,5)
-)città B= (7,15)
Si vuole costruire un porto(P) sulla costa, da questo porto verranno costruite 2 ferrovie perfettamente rettilinee, una collegherà il porto con la città A, l’altra collegherà il porto con la città B.
Trovare la posizione del porto in modo tale che la somma delle lunghezze delle due ferrovie sia minima…perciò quali sono le coordinate del porto?
(17/3;17/3) Teorema di Erone:
Data una retta r e due punti esterni A e B, il punto O della retta r che minimizza la somma AO + OB è quel punto tale che i segmenti AO e OB formino angoli congruenti con la retta r
La somma minima delle lunghezze delle 2 ferrovie è 10sqrt(2)
il porto sta alle coordinate (17/3, 17/3).
Si può fare così. Si costruisce il punto B' simmetrico di B rispetto alla costa (retta y=x), che ha coordinate (15,7). Quindi si traccia il segmento che connette A e B', che interseca la costa nel punto P. Questa è la posizione del porto. Infatti il segmento AB' è lungo quanto la somma dei due tratti di ferrovia AP e PB, e chiaramente la somma AP + PB = AP + PB' è minima quando AP e PB' sono allineati.
Con un po' di geometria analitica, intersecando il segmento AB con la retta y = x, si trova poi che P = (17/3, 17/3).
Come ulteriore curiosità, l'ellisse che ha come fuochi A e B tangente alla retta y = x passa per P.
si prende il punto speculare alla retta y=x del punto B, chiamiamolo C che ha coordinate (15,7).
Si calcola la retta passante per A e per C…con i calcoli risulta y=x/7+34/7.
Ora mettiamo a sistema l’equazione trovata con la retta y=x e troviamo il punto P del porto avente coordinate (17/3, 17/3)…questo sarà il punto in cui la somma delle distanze sarà minima, pari a 14,142
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