teoria dei numeri: DIVISIBILITA' IN ℤ (origine dal tedesco Zahl cioè numero)

teoria dei numeri: DIVISIBILITA' IN ℤ (origine dal tedesco Zahl cioè numero)

la regina delle matematiche secondo Gauss - e, in particolare, di alcune proprietà dell'insieme ℤ dei numeri interi.
Tutti sanno che ℤ è un ampliamento dell'insieme ℕ dei numeri naturali che contiene anche i numeri interi negativi mentre pochi sanno (anche se non è importante) che ℤ deriva dalla parola tedesca «Zahl» che letteralmente vuol dire numero.
Consideriamo le quattro operazioni fondamentali: addizione, sottrazione, moltiplicazione e divisione. Se prendiamo due numeri interi “m” ed “n“ possiamo sicuramente affermare che la loro somma m+n, la loro differenza m-n e il loro prodotto m*n sono ancora numeri interi. Se invece dividiamo “m” per “n” oppure “n” per “m” (sempre che sia possibile) non è detto che si ottenga un numero intero.
Questa ultima osservazione è assai importante, infatti essa ci introduce ad uno dei concetti più importanti relativi all'insieme ℤ e cioè il concetto di “divisibilità”.
Ritorniamo ai nostri numeri interi “m” ed “n”, diremo che “m” divide “n” se esiste un intero “p” tale che n=m*p. Questa cosa si scrive in questo modo: m | n e si legge “m divide n” mentre se “m” non divide “n” allora si scrive m ∤ n e si legge "m non divide n".
Esempi
3|9 2|10 7|0 18|-72
6∤10 -5∤41 3∤4 - 7∤-33
Osservazioni importanti
a) 1 e - 1 dividono ogni intero
b) Zero non divide alcun intero, ma è escluso "0". Questa cosa si scrive: 0∤n ∀n∈ℤ con n≠0
c) Ogni intero “n” divide 0 (con n≠0)
d) Se m | n allora diremo che “n” è multiplo di “m” ; ad es. 3 | 9 e quindi 9 è multiplo di 3; - 11 | 121 e quindi 121 è multiplo di - 11.
e) Lo zero è multiplo di qualsiasi intero
f) I multipli di un intero “n” si ottengono moltiplicando “n“ per un qualsiasi altro intero e pertanto i multipli risultano tutti e soli gli elementi dell'insieme {..., - 3n, - 2n, - n, 0, n, 2n,3n, .....}
g) Si dimostra facilmente che presi n>0 interi consecutivi, esiste sempre tra essi un multiplo di “n". Ad es. prendiamo quattro numeri consecutivi (quindi n=4) 11,12, 13 e 14, allora uno di questi quattro numeri è multiplo di 4, nel ns. caso 12.
f) Se “d” è un divisore comune di due interi “m” e “n” allora divide anche una loro qualunque combinazione lineare intera. Questa cosa si scrive nel modo seguente:
( d | m e d | n ⤇ d | k⠂m + h⠂n con h, k∈ℤ )
Esempio:
6 | 12 e 6 | 30 allora 6 | 12⠂2 + 30⠂5
oppure anche 6 |12 - 30
e anche 6 | 12 + 30 e così via
aspetto interessante:
L’aspettò interessante in Z è che la relazione di divisibilità non costituisce un ordine, ma solo un preordine: non è soddisfatta la proprietà antisimmetrica dell’ordine. Infatti -1| 1 e 1|-1 ( in generale n|(-n) e (-n)|n ma n!=-n.

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pasquale.clarizio

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