Una palla rimbalzante cade verticalmente da un’altezza di 9 metri. Ad ogni rimbalzo la palla risale per un’altezza pari ai 2/3 della discesa precedente
Quanti metri “percorre” in totale prima di fermarsi?
x+2x/3+4x/9+8x/27+...=3/2(2x/3+4x/9+8x/27+...)
posto s = 2x/3+4x/9+8x/27+..., si ha:
x+s = 3/2s
2x + 2s = 3s
s=2x
distanza = 2s + x = 4x+x=5x
x=9 ==> distanza = 45 metri.
Rimbalzando la pallina percorre una distanza pari al limite per n tendente a infinito della somma di una progressione geometrica di primo termine 9, ragione 2/3 e costituita da n termini
lim 9×(1-(2/3)^n)/(1-(2/3))=
n--->+inf
=lim 27×(1-(2/3)^n)=
n--->+inf
=27×(1-0)=27
CORREZIONE
Come mi è stato fatto presente ho dimenticato di considerare le risalite. Il procedimento diventa (il limite si considera per n--->+inf)
9+2×lim 6×(1-(2/3)^n)/(1-(2/3))=
9+2×lim 18×(1-(2/3)^n)=
9+2×18×(1-0)=9+36=45
L=45 m
infatti posso scrivere
L=9(1+2(2/3)+2(2/3)²+...)
L=2·9(1+2/3+(2/3)²+...)-9
L=18(1/(1-2/3))-9
L=18·3-9=45
Nella caduta iniziale la palla viaggerà 9 metri. Al primo rimbalzo viaggerà (9 metri) * (2/3) * 2 = 12 metri (il "2" è lì perché la palla percorre la distanza in salita e poi di nuovo in discesa). Al secondo rimbalzo viaggerà (9 metri) * (2/3) * (2/3) * 2 = 8 metri. E così via.
Pertanto l'equazione da utilizzare è D = 9 + sommatoria (da 1 a infinito) di [9* 2 * (2/3)^n], dove D è la distanza totale percorsa ed n è il numero di rimbalzi, risolvendo tendendo “n” ad infinito ottieniamo la risposta, cioè D= 45 metri.
La palla NON percorrerà una distanza infinita( i rimbalzi saranno potenzialmente infiniti, ma non la distanza!), poiché man mano che il numero di rimbalzi aumenta, la distanza percorsa aggiuntiva sarà così piccola che non aumenterà la distanza totale di una quantità significativa, quello che farà e’ aumentare solo il numero di decimali(esempio si passa da 44.99999 a 44.999996…)
Per gli scettici prendete una calcolatrice e con un po’ di pazienza fate i calcoli:
Prima discesa: 9metri totali
Primo rimbalzo: 21metri totali (9 +2/3*9*2)
Secondo rimbalzo: 29metri (9+6*2+6*2/3*2)
Terzo rimbalzo: 34.3333metri
Quarto rimbalzo: 37.8889metri
Quinto rimbalzo: 40.2592metri
Sesto rimbalzo: 41.8395metri
Settimo rimbalzo: 42.8929metri
Ottavo rimbalzo: 43.5953metri
Nono rimbalzo: 44.0635metri
Decimo rimbalzo: 44.5317metri totali
…
Ad ogni rimbalzo il divario tra le distanze diminuisce sempre più, fino a raggiungere “con infiniti rimbalzi” i 45 metri di distanza totale.
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