Dimostrare che l’insieme dei polinomi il cui grado è esattamente n non è uno spazio lineare
Potrei pensare in questo modo:
Q(x) per i che va da i=n a n non è uno spazio lineare perché davanti alla somma con un polinomio di grado minore o uguale ad n, viene meno la chiusura rispetto alla somma.
prendi P e Q di grado n con coefficienti pn=qn=a ..... li sottrai e ottieni un polinomio R al piu di grado n-1
Anche in questo modo:
Più brevemente: 0 non è un polinomio di grado n. E un (sotto)spazio vettoriale contiene sempre lo 0.
La considerazione sulla (non) chiusura rispetto alla somma è corretta. Basta presentare un controesempio.
Nell’insieme dei polinomi di grado esattamente 2, si considerano i due polinomi P(x) = x² + x e Q(x) = -x². La loro somma fa x che non è un polinomio di grado 2. Una costruzione analoga si può presentare per ogni n.
Ma forse la considerazione più elementare è che ogni spazio vettoriale contiene lo 0, e il polinomio zero non ha grado n per nessun n positivo.
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