Quando la somma dei divisori di un numero è uguale al numero stesso, quel numero si definisce “Numero Perfetto”. Per esempio: 6 è divisibile per 1, 2, 3 e la somma 1+2+3 fa 6, per cui 6 è un numero perfetto. I primi quattro numeri perfetti, scoperti già dagli studiosi greci, sono questi:

6 = 1 + 2 + 3

28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14

496 = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 31 + 62 + 124 + 248

8128 = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 127 + 254 + 508 + 1016 + 2032 + 4064

Il quinto non lo scoprirono mai, perché era un numero troppo alto per le conoscenze dell'epoca. Si trattava di 33.550.336.

I numeri perfetti sono soggetti a tante regole; la prima si vede subito, analizzando i primi quattro. I loro divisori sono le potenze di 2 fino alla metà arrotondata per eccesso, poi si fa il doppio meno uno e si continua a raddoppiare. 496, il terzo numero, ha nove divisori. La metà per eccesso è cinque, quindi per cinque volte avremo le potenze di 2 (1 + 2 + 4 + 8 + 16), poi avremo il doppio meno uno (31) e poi si continua raddoppiando sempre (62 + 124 + 248).

Euclide scoprì una formula matematica che permette di generare i numeri perfetti:

2^(k-1) * (2^k - 1)

dove però il secondo termine (2^k - 1) deve essere un numero primo. Euclide dimostrò (condizione necessaria, ma non sufficiente) che affinché (2^k - 1) sia primo, anche k deve essere primo. Infatti, usando k=11 abbiamo: 2^11 - 1 = 2.047 che è 23*89, quindi non abbiamo trovato un numero primo.

Era questa condizione che impediva di trovare tanti numeri perfetti, poiché non è semplice trovare numeri primi molto grandi. I matematici non sono certi che non esistano numeri perfetti che non soddisfino questa formula, ma finora non ne sono stati trovati. Infatti, se la applichiamo ai primi quattro, abbiamo:

k=2 => 2*3 (3 è primo) = 6

k=3 => 4*7 (7 è primo) = 28

k=4 => 8*15 (15 non è primo)

k=5 => 16*31 (31 è primo) = 496

k=6 => 32*63 (63 non è primo)

k=7 => 64*127 (127 è primo) = 8128

Solo usando dei valori di k dispari si possono ottenere numeri primi al secondo termine, e quindi, forse, dei numeri perfetti.

Un'altra regola è che i numeri perfetti sono tutti pari. I matematici non sono certi che non esistano numeri perfetti dispari, ma se possono essere generati solo dalla formula di Eulero, allora devono essere per forza tutti pari, dato che uno dei termini è pari.

Esistono infiniti numeri perfetti? Dovrebbe essere vero, dato che la formula di Eulero ha un k che tende all’infinito, ma al momento non esiste una dimostrazione accettata dal mondo scientifico.

Tutti i numeri perfetti terminano per 6 o per 8 e di questa regola esiste una dimostrazione. Questi sono i primi sette numeri perfetti: 6, 28, 496, 8128, 33.550.336, 8.589.869.056, 137.438.691.328 e si vede che la regola è rispettata. Ragioniamo sui due termini della formula di Eulero:

Il primo è 2^(k-1) e una potenza di 2 può terminare solo con 2, 4, 6, 8 (non esistono potenze di 2 che terminano con 0). Il secondo è (2^k - 1) una potenza di 2 meno uno può terminare solo con 1, 3, -, 7 (ho escluso il 5, perché un numero primo non può terminare con 5).

Le coppie che si generano da queste moltiplicazioni sono:

2*1 - 2*3 - 2*7

4*1 - 4*3 - 4*7

6*1 - 6*3 - 6*7

8*1 - 8*3 - 8*7

I numeri finali dei risultati di queste moltiplicazioni sarebbero: 2-6-4-4-2-8-6-8-2-8-4-8, ma le uniche coppie valide, relative a una potenza di due moltiplicata per la potenza successiva meno 1, dà solo queste combinazioni: 2*3 - 4*7 - 6*1 e queste tre moltiplicazioni danno 6-8-6 come cifra finale.

Tutti i numeri perfetti si ottengono dalla differenza di potenze di due tramite la formula (2^n – 2^[(n-1)/2]. Vediamola applicata ai primi 7 numeri:

6 = 8 - 2

28 = 32 - 4

496 = 512 - 16

8128 = 8192 - 64

33.550.336 = 33.554.432 - 4.096

8.589.869.056 = 8.589.934.592 - 65.536

137.438.691.328 = 137.438.953.472 - 262.144

Lo somma dei reciproci dei divisori di un numero perfetto, compreso se stesso, è sempre uguale a 2.

6: 1/1 + 1/2 + 1/3 + 1/6 = 2

28: 1/1 + 1/2 + 1/4 + 1/7 + 1/14 + 1/28 = 2

Questo è ovvio, dato che, usando come denominatore comune il numero stesso, al numeratore compaiono tutti i suoi divisori (la cui somma sappiamo essere uguali al numero), più il numero stesso, per cui il risultato è il doppio del numero diviso il numero, cioè 2.

28: 28/28 + 14/28 + 7/28 + 4/28 + 2/28 + 1/28 = 2

Ogni numero perfetto è uguale alla somma dei primi “n” numeri naturali consecutivi.

6 = 1 + 2 + 3

28 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7

496 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + ... + 30 + 31

8.128 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + ... + 126 + 127

Tutti i numeri perfetti maggiori di 9, come resto della divisione per 9 danno 1.

28/9 = 3 e resta 1

496/9 = 55 e resta 1

8.128/9 = 903 e resta 1

Ogni numero perfetto maggiore di 9 è uguale alle somme dei numeri dispari al cubo.

28 = 1^3 + 3^3

496 = 1^3 + 3^3 + 5^3 + 7^3

8128 = 1^3 + 3^3 + 5^3 + 7^3 + 9^3 + 11^3 + 13^3 + 15^3

Patrick Laroche, nel dicembre 2018, ha scoperto un numero primo gigantesco, che ha generato il numero perfetto più grande, il 51esimo, 2^82589932 × (2^82589933 - 1), formato da 49.724.095 cifre.

Se volessimo riportarlo su un foglio, scrivendo 5 cifre al secondo, per otto ore al giorno, per sette giorni a settimana, impiegheremmo 11 mesi e mezzo. Facendo stare quelle 5 cifre in 1 centimetro di carta, useremmo un rotolone da 99 chilometri.

Nel 1903 Frank Cole, un eminente matematico americano, durante un meeting della Società Matematica Americana, andò alla lavagna e sulla sinistra scrisse un numero che a quel tempo si pensava fosse primo, e che quindi si riteneva potesse condurre a trovare un numero perfetto.

2^67 - 1 = 147.573.952.589.676.412.927

Cole poi si spostò a destra e scrisse:

761.838.257.287 x

193.707.721

Dopodiché, fra il silenzio generale, si mise a fare la moltiplicazione a mano. Si trattava di 108 moltiplicazioni e una somma gigantesca. Dopo un'ora comparve il risultato, che era esattamente 147.573.952.589.676.412.927. La sala esplose in un fragoroso applauso e in una standing ovation. Aveva trovato, senza l'aiuto di calcolatrici, i due numeri primi che fattorizzavano quel numero di 21 cifre. Più tardi confidò agli amici che aveva lavorato tutte le domeniche per tre anni per trovare quei risultati.