limite --> 0 di (1-cos(x) cos(2x) .... cos(nx) ) / x^2
cos(nx)=1-n²x²/2+ O(x⁴)
Allora
cos(x)*cos(2x)*...cos(nx)=
1-a(n)*x²+O(x⁴)
Ora
cos(x)*cos(2x)*...cos(nx)*cos((n+1)x)=
(1-a(n)*x²+O(x⁴))(1-(n+1)²/2*x²+ O(x⁴))=
(1-(a(n)+(n+1)²/2)*x²+ O(x⁴))
Allora
a(n+1)=a(n)+(n+1)²/2=
a(n-1)+n²/2+(n+1)²/4=
1/2+2²/2+...(n+1)²/4
Usando la formula
1+2²+3²+...n² =(1/6)*n(n+1)(2n+1)
Noi abbiamo
a(n)=1/2*(1²+2²+3²+...n²)=
a(n)=1/12*n*(n+1)(2n+1)
Il limite si riduce a...
lim ₓ→0 (1-(1-a(n)*x²+O(x⁴)))/x²= a(n)
Il limite quindi, tende a .... 1/12*n*(n+1)(2n+1)
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