A proposito del polinomio di Eulero e in particolare di n^2+n+41 che “magicamente” fornisce una lunga progressione aritmetica composta da 40 elementi consecutivi, interrompendosi al successivo 41° in quanto incrocia il numero 1681 (il quale, essendo quadrato perfetto di 41 è un numero composto), ho notato che esiste una progressione “riflessiva” (ovvero che si specchia in quella del 41) la quale, iniziando dal numero 1669 e procedendo a ritroso, associa a ciascuno degli elementi prodotti dal polinomio di Eulero una sorta di complanare numerico della progressione tale che sommando le coppie di numeri primi delle due progressioni che procedono in senso contrario si ottiene sempre la stessa somma uguale a 1710.

→ 41 +2+4+6+8+10+12+14, … ,

→ 1669 –2–4–6–8–10–12–14 … ,

0041 + 00 = 0041 + 1669 = 1710 *

0041 + 02 = 0043 + 1667 = 1710 *

0043 + 04 = 0047 + 1663 = 1710 *

0047 + 06 = 0053 + 1657 = 1710 *

0053 + 08 = 0061 + 1649 = 17x97*

0061 + 10 = 0071 + 1639 = 11x149

0071 + 12 = 0083 + 1627 = 1710 *

0083 + 14 = 0097 + 1613 = 1710 *

0097 + 16 = 0113 + 1597 = 1710 *

0113 + 18 = 0131 + 1579 = 1710 *

0131 + 20 = 0151 + 1559 = 1710 *

0151 + 22 = 0173 + 1537 = 29x53

0173 + 24 = 0197 + 1513 = 17x89

0197 + 26 = 0223 + 1487 = 1710 *

0223 + 28 = 0251 + 1459 = 1710 *

0251 + 30 = 0281 + 1429 = 1710 *

0281 + 32 = 0313 + 1397 = 11x127

0313 + 34 = 0347 + 1363 = 29x47

0347 + 36 = 0383 + 1327 = 1710 *

0383 + 38 = 0421 + 1289 = 1710 *

0421 + 40 = 0461 + 1249 = 1710 *

0461 + 42 = 0503 + 1207 = 17x71*

0503 + 44 = 0547 + 1163 = 1710 *

0547 + 46 = 0593 + 1117 = 1710 *

0593 + 48 = 0641 + 1069 = 1710 *

0641 + 50 = 0691 + 1019 = 1710 *

0691 + 52 = 0743 + 0967 = 1710 *

0743 + 54 = 0797 + 0913 = 11x83

0797 + 56 = 0853 + 0857 = 1710 *

0853 + 58 = 0911 + 0799 = 17x47

0911 + 60 = 0971 + 0739 = 1710 *

0971 + 62 = 1033 + 0677 = 1710 *

1033 + 64 = 1097 + 0613 = 1710 *

1097 + 66 = 1163 + 0547 = 1710 *

1163 + 68 = 1231 + 0479 = 1710 *

1231 + 70 = 1301 + 0409 = 1710 *

1301 + 72 = 1373 + 0337 = 1710 *

1373 + 74 = 1447 + 0263 = 1710 *

1447 + 76 = 1523 + 0187 = 11x17

1523 + 78 = 1601 + 0109 = 1710 *

1601 + 80 = 1681 + 0029 = 41x41

Su 41 coppie di numeri prodotte dalle due progressioni ben 30 sono formate da elementi entrambi primi, altre 10 coppie sono formate da un numero primo nella prima colonna e un composto nella seconda, mentre l’ultima è formata da un numero composto nella prima colonna (che è proprio il quadrato perfetto di 41) e un numero primo nella seconda.

Tale notazione offre la visuale per un nuovo percorso tutto da esplorare che, a sua volta, si dirama in due direzioni; da un lato la verifica di altri probabili casi simili, dall’altro le implicazioni che tali strade contrarie hanno con la congettura di Goldbach.