Teorema di Riordinamento delle Serie di Riemann
quello per cui è possibile riordinare i termini di una serie semplicemente ma non assolutamente convergente in modo da ottenere qualunque numero reale come somma della serie) afferma che è possibile riordinate una serie semplicemente convergente in modo che diventi divergente (sia positivamente sia negativamente)
Considera le successioni 1/n e -1/n^2.
Diverge a +infinito e la serie negativa converge.
Mettili nell'ordine che ti piace per far si che in modulo siano decrescenti.
Non riesci mai a farla convergere. Va sempre a +infinito. La risposta dovrebbe essere negativa
se non si specifica che entrambi le parti negative e positive divergano allora la risposta è no. Viceversa se si assume che sia la serie data dai termini negativi che quella data dai termini positivi diverga allora la situazione si fa più sottile. Il punto chiave è che il teorema di Riemann funziona perchè se qualcosa è semplicemente convergente ma non assolutamente allora posso considerare che la somma dei termini positivi vada a +infinito e quella dei negativi a -infinito. Alla luce di questo quello che ti vuoi chiedere è se questa operazione è una biiezione. Al momento non ho una risposta ma mi pare che i casi interessanti da considerare siano quelli in cui la successione dei termini negativi sia una sotto-successione di quelli positivi, in modo tale che l'asintotico dei due infiniti sia di ordine diverso. Mi viene in mente una serie del tipo an=1/n se n è pari e an=-1/p_{(n-1)/2} se n è dispari (con p_i l'i-esimo numero primo).
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