per induzione: per n=1 si ha 1+a/b+1+b/a=2+a/b+b/a>=4 (si dimostra facilmente che a/b+b/a>=2). Supponiamo che la disuguaglianza sia verificata per n e dimostriamo che vale per n+1: (1+a/b)^n+1+(1+b/a)^n+1= (1+a/b)^n(1+a/b)+(1+b/a)^n(1+b/a)= (1+a/b)^n+(1+b/a)^n +a/b(1+a/b)^n+b/a(1+b/a)^n>=2*2^n+2radq((1+a/b)^n(1+b/a)^n) >=2*2^n+2radq(2+a/b+b/a)^n>=2*2^n+2radq(4^n)=2*2^n+2*2^n=2*2^n+1

Posto x=a/b (x>0) è facilmente verificabile (usando derivata prima e seconda) che la funzione f(x)=(1 + x)ⁿ + (1 + 1/x)ⁿ per x > 0 ha un minimo per x = 1. Mia poiché f(1) = 2*2ⁿ è dimostrato quanto richiesto