La serie numerica, converge totalmente in [0, 1/2]

La serie numerica, converge totalmente in [0, 1/2]

Devi trovare una successione A_n tale che:
* 2xⁿ/(1+x²ⁿ) ≤ A_n per tutti gli x ∈ [0,1/2];
* A_n è sommabile (cioè la serie degli A_n converge).

Io farei così:

1+x²ⁿ ≥ 1 ∀x ∈ ℝ;
xⁿ ≤ (1/2)ⁿ ∀x ∈ [0,1/2].

Quindi:

2xⁿ/(1+x²ⁿ) ≤ 2·(1/2)ⁿ = A_n.

Dato che la serie degli A_n è convergente (è multipla di una serie geometrica di ragione 1/2), la serie di funzioni di partenza è totalmente convergente.

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pasquale.clarizio

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