La teoria delle mattonelle: uso dei prodotti notevoli
Supponiamo di non saper fare le moltiplicazioni ma di conoscere solo i quadrati dei numeri naturali. 1 4 9 16 25 ……..
Se dobbiamo moltiplicare 6 x 8
La “distanza” dei due numeri dalla loro media 7 è di 1
Quindi per sapere il prodotto di 6 x 8 basterà prendere il quadrato di 7 ovvero 49 e sottrarre 1 (risultato 48)
Se invece la distanza tra i 2 fattori dalla loro media è di 2 allora bisogna sottrarre al quadrato della media il quadrato di 2 ovvero 4
Esempio: 12 x 16
Bisogna fare 14 al quadrato 196 meno 4 =192
E così via …
Se la distanza è 3 bisogna sottrarre 9
Se la distanza è 4 bisogna sottrarre 16
Spero che piaccia
Sapendo i quadrati a memoria di un po’ di numeri alcune moltiplicazioni saranno velocissime
Così come il fatto che tra due quadrati perfetti consecutivi la differenza è un numero dispari che cresce ogni volta di due unità
(a+1)^2-a^2 dà sicuramente un numero dispari 2a+1.
Ora facciamo la differenza fra i due quadrati successivi (a+2)^2-(a+1)^2 il risultato è 4a+4-2a-1= 2a+3 che è il numero precedente 2a+1 aumentato di 2
Quindi il prodotto fra due numeri è uguale alla loro somma diviso 2, tutto al quadrato, meno la loro differenza diviso 2, tutto al quadrato
Per es.
(16*12)=(16+12)/2)^2-((16-12)/2)^2
Verifichiamo
a*b=(a+b)/2)^2-((a-b)/2)^2
= (a^2+b^2+2ab)/4-(a^2+b^2-2ab)/4
= (2ab+2ab)/4=a*b
se la differenza tra i numeri è dispari, il conto a mente diventa più difficile (e.g. 12x15)
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