la procedura che ho pensato sfrutta (in modo indiretto) il teorema di de l'Hospital, in quanto è necessario nel confronto tra infiniti che consente di concludere il calcolo...
non mi viene nulla senza applicare (direttamente o meno) questo metodo...

ho pensato di scrivere la differenza di due logaritmi come logaritmo della divisione, così il primo fattore tende a 0 come il secondo ed il limite è zero

Si possono usare le proprietà dei logaritmi: log₂(a) = 2·log₄(a).

Allora log₂(3x+1) - log₄(3x+1) = 2· log₄(3x+1) - log₄(3x+1) = log₄[(3x+1)²] - log₄(3x+1) = log₄(3x+1).

Poi l’altro fattore si scrive sin(6x+2) = sin[2(3x+1)] = 2·sin(3x+1)·cos(3x+1).

Posto 3x+1 = t, t → 0⁺ per x → -1/3⁺, e l’espressione si riconduce a

2·log₄(t)·sin(t)·cos(t) = 2·log₄(t)·t·[sin(t)/t]·cos(t) ~ 2·log₄(t)·t·1·1 = 2·log₄(t)·t.

Dove ho usato che cos(t) → 1 e sin(t)/t → 1 per t → 0. Resta il limite 2·log₄(t)·t che, usando la gerarchia degli infiniti, fa 0.

Non saprei finirlo senza usare i limiti notevoli sin(x)/x → 1 e x·ln(x) → 0 per x → 0. Non so se siano “ammessi”.

moltiplica e dividi per 2(3x+1) poi porta i logaritmi in base due e dunque esce 0. Basta sapere che xlogx tende a zero per x che tende a zero e il limite notevole sen x/x che tende ad 1.