Per z costante le curve di livello del tuo grafico sono delle circonferenze di raggio variabile. Affinché la superficie sia regolare devi solo verificare (per esempio con il teorema delle funzioni implicite) che le circonferenze si “incollino” in maniera regolare, quindi per z>o devi avere un gradiente con 2 elementi non nulli. Una parametrizzazione regolare è data da (cos θ, sin θ, t)

Infine, sapendo che lungo z la superficie si sviluppa come una serie dì circonferenze, ti basta la curvatura lungo z per decidere se i punti sono iperbolici, ellittici o parabolici

Come faccio ad arrivare a questa parametrizzazione? Inoltre dopo devo calcolare la curvatura su questa parametrizzazione?

la “t” è nel problema. Se in F=0 metti z=z0 hai l’eq di una circonferenza, di cui quella è l’ovvia parametrizzazione. La curvatura direi che ti basta calcolarla lungo z perché appunto lungo x e y hai il piano tangente che si lascia la circonferenza da una parte e quindi quella parte è sicuramente ellittica

“visivamente” che la varietà è un conoide con asse in x=0, y=0 e raggio 1/z^2+z?? Quindi direi che i punti iperbolici li dovresti cercare per r=0 che se non sbaglio sta fuori dal tuo dominio e nel minimo di r

la parametrizzazione di una circonferenza di centro 0 e raggio 1?

se poni f=0 ottieni x^2+y^2= 1/z^2+z. Il secondo membro è il raggio al quadrato, quindi sai che si tratta di una famiglia di circonferenze da cui la paramatrizzazione in seno e coseno. iTi torna? Se invece lasci z^2 al primo membro quello ti rappresenta il raggio della curva di livello di quota z della superficie. Scusa forse mi ero spiegato male

al di là della parametrizzazione (e la natura dei punti è un invaiante), puoi sempre scrivere f=0 come x^2+y^2= 1/z^2+z. Ora siccome il grafico del secondo membro è quello in figura, i punti iperbolici li hai nel minimo di z, cioè per z=2. Senza complicarti la vita con il calcolo delle curvature