tre scatole chiuse identiche: una contiene due palline nere, un’altra due palline bianche e la terza una pallina bianca e una nera
Viene scelta casualmente una scatola e senza guardare si preleva una pallina dal suo interno. La pallina risulta nera, qual è la probabilità che anche l’altra sia nera?
il risultato sia 2/3. Ci sono 3 casi possibili equiprobabili: ho avuto la prima scatola e pesco la prima pallina (e la pallina rimanente è nera); ho avuto la prima scatola e pesco la seconda pallina (e la pallina rimanente è nera); ho avuto la seconda scatola e pesco la prima pallina (e la pallina rimanente è bianca). In totale la pallina rimanente è nera in 2 casi su 3.
La probabilità a priori di estrarre una qualsiasi scatola è 1/3.
=P(1N+1B)=P(2B)=1/3
Dalla scatola con due nere la probabilità di estrarre una nera è 1
P(N|2N)=1
Dalla scatola con una nera e una bianca la probabilità di estrarre una nera è 1/2
P(N|1N+1B)=1/2
Ovviamente la probabilità di estrarre una nera dalla scatola con due bianche è 0
P(N|2B)=0
Per il teorema di Bayes
P(2N|N)=P(N|2N)P(2N)/[P(N|2N)P(2N)+P(N|1N+1B)P(1N+1B)+P(N|2B)P(2B)]=1×(1/3)/[1×(1/3)+(1/2)×(1/3)+0×(1/3)]=2/3
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